Was ist eine Kardinalskala? Definition und Beispiel

Du hast deine Umfrage für die Semesterarbeit ausgewertet und willst den Mittelwert berichten. Im Skript steht „Kardinalskala“, im Lehrbuch „metrische Skala“, und beim Nachschlagen findest du mal zwei, mal drei Unterformen. Drei Begriffe, und keiner sagt dir, was du jetzt rechnen darfst.

Eine Kardinalskala ist ein Skalenniveau, bei dem die Zahlen echte Abstände abbilden. Du kannst also nicht nur sagen, welcher Wert grösser ist, sondern auch, um wie viel. Kardinalskala und metrische Skala meinen dasselbe. Nach diesem Artikel bestimmst du in vier Fragen, ob ein Merkmal kardinal ist und welche Art von Kardinalskala vorliegt.

📌 Das Wichtigste im Überblick

• Kardinalskala und metrische Skala bezeichnen dasselbe Skalenniveau.
• Dazu zählen Intervallskala, Verhältnisskala und oft die Absolutskala.
• Gleiche Abstände erlauben Differenz, Mittelwert und Standardabweichung.
• Stevens beschrieb 1946 vier Skalen, die Kardinalskala fehlt dort.
• Eine Ratingskala im Fragebogen ist nicht automatisch kardinalskaliert.

Was ist eine Kardinalskala?

Eine Kardinalskala ist ein Skalenniveau, dessen Werte gleich grosse Abstände voneinander haben, sodass sich aus zwei Zahlen nicht nur eine Reihenfolge ablesen lässt, sondern ein konkreter Unterschied. Der zweite gebräuchliche Name dafür ist metrische Skala.

Der Name kommt von der Kardinalzahl, also der Grundzahl eins, zwei, drei, die eine Menge angibt. Die Ordinalzahl dagegen ist die Ordnungszahl erster, zweiter, dritter und sagt nur, wer vorn liegt. Genau dieser Unterschied steckt auch in den Skalenniveaus: Die Ordinalskala bringt Merkmale in eine Reihenfolge, die Kardinalskala misst dazu den Abstand.

Damit steht sie über den beiden nicht metrischen Stufen. Die Nominalskala unterscheidet Merkmale nur, etwa nach Blutgruppe oder Wohnkanton. Die Ordinalskala ordnet sie zusätzlich, etwa nach Schulnote oder Rangliste. Erst auf der Kardinalskala wird aus „mehr“ eine Zahl, mit der du rechnen kannst.

Nominal unterscheidet, ordinal ordnet, kardinal misst.

Die Stufen setzen dabei aufeinander auf: Jede höhere kann alles, was die darunter kann, und eine Aussage mehr. Die Methodenberatung der Universität Zürich nennt das die Hierarchie der Skalenniveaus und hält fest, dass eine höhere Skala als niedrigere behandelt werden kann, aber nie umgekehrt (Methodenberatung UZH). Welche Stufe vorliegt, entscheidet am Ende darüber, welche Auswertung zulässig ist, und genau diese Zuordnung nimmt unser Beitrag zum Skalenniveau Merkmal für Merkmal vor.

Warum Stevens die Kardinalskala nicht kennt

Die Einteilung der Skalenniveaus geht auf den Psychologen S. S. Stevens zurück, der sie 1946 in der Zeitschrift Science beschrieben hat. Er unterscheidet dort vier Skalen: nominal, ordinal, interval und ratio (Stevens 1946). Ein fünfter Begriff für die oberen Stufen kommt bei ihm nicht vor. Das Wort „cardinal“ fällt zwar einmal, aber in anderer Bedeutung: Er nennt das Zählen selbst, die cardinal number, mit der wir Eier, Münzen und Äpfel zählen, die grundlegendste aller Verhältnisskalen. Eine eigene Messstufe meint er damit nicht.

„Kardinalskala“ ist also keine eigene Messstufe, sondern ein Sammelbegriff, der sich im deutschsprachigen Unterricht durchgesetzt hat. Er fasst die Niveaus zusammen, auf denen echte Abstände gemessen werden. Die Methodenberatung der Universität Zürich verzichtet auf ihn und führt nur die vier Stufen von Stevens auf, mit der Ratioskala als oberster.

Nicola Döring fasst im Glossar zu Forschungsmethoden und Evaluation (6. Auflage 2023) unter der Kardinalskala die Intervall- und die Verhältnisskala zusammen, mit einer praktischen Begründung: In der sozialwissenschaftlichen Forschungsstatistik gebe es „keine wichtigen Verfahren, die speziell nur auf Verhältnisskalen zugeschnitten sind“ (Döring, Glossar zur 6. Auflage 2023). Ein Merkblatt zum Bestimmen des Skalenniveaus der Universität Graz führt unter „Kardinal/metrisch“ dagegen drei Unterformen und nimmt die Absolutskala dazu (Merkblatt Skalenniveaus, Universität Graz).

Alle Lesarten sind verbreitet, und für deine Auswertung ändert die Zählung nichts. Entscheidend ist nicht, ob dein Lehrbuch zwei oder drei Arten nennt, sondern ob das Merkmal einen natürlichen Nullpunkt hat. Daran hängt, ob du Verhältnisse und Prozente berichten darfst.

Die drei Arten der Kardinalskala

Innerhalb der Kardinalskala wird weiter unterschieden, und der Unterschied liegt am Nullpunkt und an der Masseinheit. Alle drei Arten haben gleich grosse Abstände, sie erlauben aber unterschiedlich viele Aussagen.

Bei der Intervallskala sind die Abstände gleich, die Null ist aber gesetzt worden. Zwischen 15 und 20 Grad Celsius liegen genauso viele Grad wie zwischen 25 und 30. Die Null steht dort für den Gefrierpunkt von Wasser und nicht für „keine Temperatur“, weshalb Minusgrade möglich sind und der Satz „20 Grad sind doppelt so warm wie 10 Grad“ nicht funktioniert. Beim Geburtsjahr ist es dieselbe Konstruktion: Eine Jahreszahl ist ein Punkt auf einem vereinbarten Zeitstrahl. Das daraus berechnete Alter dagegen ist eine gemessene Dauer ab null und damit verhältnisskaliert.

Die Verhältnisskala hat dagegen einen Nullpunkt, der ein echtes Nichts bezeichnet. Niemand ist kleiner als null Zentimeter, niemand wiegt weniger als null Gramm, und niemand verdient weniger als null Franken. Deshalb darfst du hier sagen, dass ein Wert doppelt so hoch ist wie ein anderer.

Die Absolutskala ist ein Sonderfall der Verhältnisskala mit einer vorgegebenen Einheit, meist einer Stückzahl. Temperatur kannst du in Celsius oder Fahrenheit messen, Einwohner nur in Personen. Die ständige Wohnbevölkerung, die das Bundesamt für Statistik erhebt, ist genau so ein Fall (BFS, Bevölkerungsstand). Viele Lehrbücher führen die Absolutskala deshalb nicht eigens auf.

Ist mein Merkmal kardinalskaliert? Der Test in vier Fragen

Ob ein Merkmal kardinal ist, klärst du schneller mit einer Frageliste als mit einer Definition. Ein Merkblatt der Universität Graz führt dafür eine Kette, die du von oben nach unten durchgehst. Die ersten beiden Fragen entscheiden über kardinal oder nicht, die letzten beiden ordnen die Art zu.

1. Lassen sich die Ausprägungen in eine Reihenfolge bringen? Wenn nein, ist das Merkmal nominal und der Test endet hier.
2. Ist der Abstand zwischen zwei Ausprägungen überall gleich gross? Wenn nein, ist es ordinal. Wenn ja, ist es kardinal.
3. Gibt es einen natürlichen Nullpunkt? Wenn nein, ist es eine Intervallskala. Wenn ja, geht es weiter zur letzten Frage.
4. Gibt es eine natürliche Einheit? Wenn nein, ist es eine Verhältnisskala, wenn ja, eine Absolutskala.

Die zweite Frage trägt die eigentliche Entscheidung, und sie ist die einzige, bei der du dich selbst prüfen musst. „Gleich gross“ heisst nachweisbar gleich gross, nicht „wirkt ungefähr gleich“. Bei Zentimetern, Franken und Sekunden ist das unstrittig. Bei Antwortstufen wie „eher zufrieden“ und „sehr zufrieden“ ist es eine Annahme.

Warum die Schweizer Notenskala ordinal bleibt

An den Schulnoten wird der Unterschied besonders gut sichtbar. Die Schweizer Skala reicht von 1 bis 6, und anders als in Deutschland und Österreich ist die 6 die beste Note. Die Richtung einer Skala ist also blosse Konvention. Die Reihenfolge ist es nicht: Eine 6 liegt in jedem System klar vorn. Was beide Systeme ebenfalls teilen, ist die fehlende Gleichheit der Abstände. Die Methodenberatung der Universität Zürich hält fest, dass eine 6 nicht doppelt so gut ist wie eine 3 und der Schritt von 1 auf 2 nicht dasselbe bedeutet wie der von 4 auf 5 (Methodenberatung UZH). Schulnoten sind damit ordinal, nicht kardinal.

Zahlen im Datensatz sind kein Beweis

Der häufigste Irrtum ist, ein Merkmal für kardinal zu halten, weil in der Spalte Zahlen stehen. Eine Postleitzahl ist eine Zahl und trotzdem nominal, denn 8001 Zürich ist nicht „mehr“ als 3011 Bern, und der Abstand dazwischen bedeutet nichts. Dasselbe gilt für Trikotnummern und für codierte Antworten. Die Methodenberatung der Universität Zürich führt dafür den Wohnort an, bei dem 1 für Zürich, 2 für Bern und 3 für Basel steht: Die Zahlen sind frei gewählt und liessen sich ohne Verlust vertauschen.

Prüfe deshalb nicht das Format, sondern die Bedeutung. Die Frage lautet nicht „steht da eine Zahl“, sondern „sagt die Differenz dieser beiden Zahlen etwas aus“.

Der Nullpunkt entscheidet erst im zweiten Schritt

Ein Merkmal ist bereits kardinal, sobald die Abstände stimmen. Ob die Null gesetzt oder natürlich ist, entscheidet danach nur noch darüber, welche Art von Kardinalskala vorliegt und ob Verhältnisse erlaubt sind. Wer beide Fragen zusammenzieht, hält intervallskalierte Merkmale wie das Geburtsjahr fälschlich für nicht metrisch und verschenkt Auswertungsmöglichkeiten.

Was du mit kardinalskalierten Daten rechnen darfst

Auf einer Kardinalskala sind alle Rechenwege erlaubt, die mit Abständen arbeiten. Was darüber hinausgeht, hängt am Nullpunkt und gilt deshalb nicht für jede Art gleichermassen. Die Übersicht trennt beides.

Die Zeilen mit „nur teilweise“ gelten auf der Verhältnis- und der Absolutskala, auf der Intervallskala nicht. Ein Einkommen darf doppelt so hoch heissen wie ein anderes, eine Temperatur in Grad Celsius nicht. Für die Praxis heisst das: Prüfe vor jeder Prozentangabe, ob die Null deines Merkmals ein echtes Nichts bezeichnet.

Verfahren, die auf Mittelwert und Streuung aufbauen, setzen nach gängiger Konvention mindestens Intervallniveau voraus. Dazu zählen der t-Test, die Varianzanalyse und die lineare Regression, allesamt Verfahren der Inferenzstatistik, die von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schliesst. Für ordinale Merkmale bleiben stattdessen Median, Quartile und Rangkorrelationen. Diese Kennwerte beschreiben wie Mittelwert und Standardabweichung zunächst nur deine eigenen Daten.

Kardinalskala im Fragebogen: die Frage entscheidet

Ob du am Ende kardinalskalierte Daten hast, entscheidet sich beim Erstellen des Fragebogens und nicht bei der Auswertung. Dasselbe Merkmal liefert je nach Antwortformat ein anderes Niveau, und nachträglich lässt es sich nur nach unten umwandeln, also von fein zu grob.

Das Alter ist das deutlichste Beispiel. Fragst du „Wie alt bist du?“ mit einem freien Zahlenfeld, bekommst du verhältnisskalierte Daten und kannst Mittelwert, Spanne und Altersgruppen daraus bilden. Fragst du stattdessen nach „18 bis 29“, „30 bis 49“ und „50 und älter“, bekommst du ordinale Daten, und die einzelnen Jahre sind für immer weg. Aus der Zahl kannst du jederzeit Gruppen machen, aus Gruppen nie wieder die Zahl.

Axel Franzen von der Universität Bern macht daraus eine Regel für die Fragebogenkonstruktion: Antwortkategorien sollen das höchstmögliche Skalenniveau realisieren, und wo es geht, gehört die Antwort offen numerisch erhoben. Verhaltensfragen wie die Anzahl der Theaterbesuche liefern so Daten auf Absolutskalenniveau (Franzen, Antwortskalen in standardisierten Befragungen).

Ist eine Ratingskala kardinalskaliert?

Eine Ratingskala im Fragebogen ist streng genommen ordinalskaliert und damit nicht kardinal. Es lässt sich nämlich nicht nachweisen, dass der Schritt von „trifft eher zu“ zu „trifft zu“ genauso gross ist wie der von „trifft zu“ zu „trifft voll und ganz zu“. Dasselbe gilt für das einzelne Item einer Likert-Skala. Anders sieht es aus, wenn du mehrere Items zu einem Summenwert zusammenfasst, wie es die klassische Likert-Skala vorsieht. Über viele Items gemittelt nähert sich der Gesamtwert einem metrischen Niveau an, weshalb er in der Praxis meist als solcher ausgewertet wird. Eine Annahme bleibt es trotzdem: Die Methodenberatung der Universität Zürich hält fest, dass Likert-Items grundsätzlich als ordinalskaliert gelten und nur dann wie intervallskalierte behandelt werden, wenn die Annahme plausibel erscheint.

Diese Nachsicht ist keine Erfindung der Gegenwart. Stevens hat das Rechnen mit Mittelwerten auf ordinalen Skalen 1946 „illegales Statistiktreiben“ genannt, dem sich aber „eine Art pragmatische Duldung“ entgegenhalten lasse, weil es vielfach zu brauchbaren Ergebnissen führe. Im selben Absatz nennt er den Preis: Mittelwert und Standardabweichung sind auf einer Ordinalskala genau in dem Mass fehlerhaft, in dem die aufeinanderfolgenden Abstände ungleich gross sind. Franzen zieht daraus eine praktische Folgerung: Die Bezeichnungen der Stufen sollen möglichst gleiche Intervallabstände nahelegen, und wo die Stufenzahl es zulässt, gehört jede Kategorie beschriftet.

Wenn du aus Zustimmungsstufen einen Mittelwert bildest, gehört die Annahme in den Methodenteil deiner Semesterarbeit: „Die Antwortstufen wurden als äquidistant behandelt.“ Ohne diesen Satz behauptet deine Auswertung ein Messniveau, das die Daten nicht hergeben.

Typische Fehler rund um die Kardinalskala

Die meisten Fehler entstehen nicht beim Rechnen, sondern eine Stufe davor: Ein Merkmal wird falsch eingeordnet, und alles Weitere folgt dieser Entscheidung. Auffallen tut das selten, denn ein falsch berechneter Mittelwert sieht genauso aus wie ein richtiger.

Zwei der drei folgenden Fälle entstehen schon beim Erstellen des Fragebogens, der dritte erst in der Auswertungssoftware. Alle drei lassen sich mit einer einzigen Angewohnheit vermeiden, nämlich jedem Merkmal sein Skalenniveau zuzuordnen, bevor die erste Zahl darauf angewendet wird.

Anzahlen in Bereichen abfragen

„Wie viele Umfragen hast du im letzten Jahr ausgewertet?“ mit den Optionen „keine“, „1 bis 5“ und „mehr als 5“ liefert ordinale Daten, obwohl das Merkmal selbst absolutskaliert ist. Die Frage senkt das Skalenniveau, und zwar unwiderruflich. Sie färbt zudem auf die Antworten ab: In einer Online-Befragung unter Studierenden der Universität Bern gaben 78 Prozent an, bis zu fünf Stunden pro Woche sportlich aktiv zu sein, solange die Kategorien bei einer Stunde begannen. Startete dieselbe Liste bei fünf Stunden, waren es noch 44,5 Prozent (Franzen, Antwortskalen in standardisierten Befragungen). Ein freies Zahlenfeld kostet die Befragten kaum mehr Zeit und erhält dir den Mittelwert.

Prozente auf intervallskalierte Werte rechnen

Ein Satz wie „die Temperatur ist um 50 Prozent gestiegen“ klingt harmlos und ist es nicht. Eine prozentuale Veränderung teilt die Differenz durch den Ausgangswert und ist damit ein Verhältnis. Von 10 auf 15 Grad Celsius sind das 50 Prozent, dieselbe Erwärmung in Fahrenheit ergibt 18 Prozent und in Kelvin 1,8 Prozent. Drei Zahlen für dieselbe Erwärmung sind ein sicheres Zeichen dafür, dass die Prozentangabe hier nichts misst. Berichte in solchen Fällen die Differenz in Grad.

Codierte Antworten wie Messwerte behandeln

Statistikprogramme rechnen bereitwillig mit allem, was als Zahl gespeichert ist. In SPSS werden alle Variablen zunächst automatisch als metrisch eingestuft, weshalb die Methodenberatung der Universität Zürich empfiehlt, das Skalenniveau als Erstes in der Variablenansicht richtig zu setzen. Ein Mittelwert von 1,4 für eine Variable, in der 1 für „Miete“ und 2 für „Eigentum“ steht, ist sonst formal berechnet und inhaltlich sinnlos.

Fazit

Die Kardinalskala ist die Stufe, auf der Statistik bequem wird: Differenz, Mittelwert und Standardabweichung sind erlaubt, und für die meisten Auswertungen reicht das vollkommen. Ob dein Lehrbuch zwei oder drei Arten dazuzählt, kannst du getrost offenlassen. Wichtiger ist die Frage nach dem natürlichen Nullpunkt, denn an ihr hängt, ob du Verhältnisse und Prozente berichten darfst. Und die wichtigste Entscheidung triffst du ohnehin früher, nämlich bei der Formulierung der Frage.

Wie es weitergeht

• Du willst alle Stufen im Zusammenhang sehen? Skalenniveau bestimmen
• Dein Merkmal hat keinen echten Nullpunkt? Intervallskala
• Du willst Verhältnisse berichten? Verhältnisskala
• Du zählst Stückzahlen? Absolutskala

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