Du hast deine Erhebung ausgewertet und willst den Mittelwert berichten. Im Skriptum steht „Kardinalskala“, im Lehrbuch „metrische Skala“, und beim Nachschlagen findest du einmal zwei, einmal drei Unterformen. Drei Begriffe, und keiner sagt dir, was du jetzt rechnen darfst.
Eine Kardinalskala ist ein Skalenniveau, bei dem die Zahlen echte Abstände abbilden, sodass du nicht nur sagen kannst, welcher von zwei Werten der größere ist, sondern auch, um wie viel er größer ist; Kardinalskala und metrische Skala sind dabei nur zwei Namen für dasselbe Niveau. Nach diesem Artikel bestimmst du in vier Fragen, welche Art vorliegt.
📌 Das Wichtigste im Überblick
- Kardinalskala und metrische Skala meinen genau dasselbe Skalenniveau.
- Dazu gehören Intervall-, Verhältnis- und meist auch Absolutskala.
- Gleich große Abstände erlauben Differenz, Mittelwert und Standardabweichung.
- Bei Stevens 1946 kommt die Kardinalskala gar nicht vor.
- Eine Ratingskala im Fragebogen ist damit noch nicht kardinalskaliert.
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Was ist eine Kardinalskala?
Eine Kardinalskala ist ein Skalenniveau, dessen Werte gleich große Abstände voneinander haben. Aus zwei Zahlen liest du deshalb nicht bloß eine Reihenfolge ab, sondern einen konkreten Unterschied. Der zweite gebräuchliche Name dafür lautet metrische Skala.
Der Begriff kommt von der Kardinalzahl, also der Grundzahl eins, zwei, drei, die eine Menge angibt. Die Ordinalzahl ist dagegen die Ordnungszahl erster, zweiter, dritter und sagt nur, wer vorne liegt. Genau dieser Unterschied steckt auch in den Skalenniveaus: Die Ordinalskala bringt Merkmale in eine Reihenfolge, die Kardinalskala misst zusätzlich den Abstand.
Damit steht sie über den beiden nicht metrischen Stufen. Die Nominalskala unterscheidet Merkmale nur, etwa nach Bundesland oder Blutgruppe. Die Ordinalskala ordnet sie zusätzlich, etwa nach Maturanote oder nach dem Platz im Bewerb. Erst auf der Kardinalskala wird aus „mehr“ eine Zahl, mit der du rechnen kannst.
Nominal unterscheidet, ordinal ordnet, kardinal misst.
Die Stufen setzen dabei aufeinander auf: Ein metrisch skaliertes Merkmal ist immer auch ordinal- und nominalskaliert, umgekehrt gilt das nie. Welche Stufe vorliegt, entscheidet am Ende darüber, welche Auswertung zulässig ist, und genau diese Zuordnung nimmt unser Beitrag zum Skalenniveau Merkmal für Merkmal vor.
Warum Stevens die Kardinalskala nicht kennt
Die Einteilung der Skalenniveaus geht auf den Psychologen S. S. Stevens zurück, der sie 1946 in der Zeitschrift Science vorgestellt hat. Er unterscheidet dort vier Skalen: nominal, ordinal, interval und ratio (Stevens 1946). Einen fünften Begriff für die oberen Stufen gibt es bei ihm nicht. Das Wort „cardinal“ fällt zwar einmal, aber in anderer Bedeutung: Er nennt das Zählen selbst, die cardinal number, mit der wir Eier, Münzen und Äpfel zählen, die grundlegendste aller Verhältnisskalen. Eine eigene Messstufe meint er damit nicht.
„Kardinalskala“ ist also keine eigene Messstufe, sondern ein Sammelbegriff, der sich im deutschsprachigen Unterricht eingebürgert hat. Er fasst jene Niveaus zusammen, auf denen echte Abstände gemessen werden. Das erklärt auch, warum du beim Nachschlagen auf zwei verschiedene Auskünfte stößt.
Am nächsten liegt dir das Merkblatt zum Bestimmen des Skalenniveaus der Universität Graz: Es führt unter „Kardinal/metrisch“ drei Unterformen und zählt die Absolutskala ausdrücklich dazu (Merkblatt zum Bestimmen des Skalenniveaus der Universität Graz). Nicola Döring zieht die Grenze enger und fasst im Glossar zu Forschungsmethoden und Evaluation (6. Auflage 2023) nur die Intervall- und die Verhältnisskala zusammen, mit einer praktischen Begründung: In der sozialwissenschaftlichen Forschungsstatistik gebe es „keine wichtigen Verfahren, die speziell nur auf Verhältnisskalen zugeschnitten sind“ (Döring, Glossar zur 6. Auflage 2023).
Beide Lesarten sind verbreitet, und für deine Auswertung ändert die Zählung nichts. Entscheidend ist nicht, ob dein Skriptum zwei oder drei Arten nennt, sondern ob dein Merkmal einen natürlichen Nullpunkt hat.
Die drei Arten der Kardinalskala
Innerhalb der Kardinalskala wird weiter unterschieden, und der Unterschied liegt am Nullpunkt und an der Maßeinheit. Alle drei Arten haben gleich große Abstände, sie erlauben aber unterschiedlich viele Aussagen.
| Art | Woran du sie erkennst | Beispiel |
|---|---|---|
| Intervallskala | gleiche Abstände, Nullpunkt vereinbart | Grad Celsius, Geburtsjahr |
| Verhältnisskala | zusätzlich ein natürlicher Nullpunkt | Körpergröße, Gewicht, Einkommen |
| Absolutskala | zusätzlich eine natürliche Einheit | Einwohnerzahl, Anzahl der Antworten |
Bei der Intervallskala sind die Abstände gleich, die Null wurde aber gesetzt. Zwischen 15 und 20 Grad Celsius liegen genauso viele Grad wie zwischen 25 und 30. Die Null steht dort für den Gefrierpunkt von Wasser und nicht für „keine Temperatur“, weshalb es Minusgrade gibt und der Satz „20 Grad sind doppelt so warm wie 10 Grad“ nicht funktioniert. Beim Geburtsjahr ist es dieselbe Konstruktion: Eine Jahreszahl ist ein Punkt auf einem vereinbarten Zeitstrahl. Das daraus gerechnete Alter dagegen ist eine gemessene Dauer ab null und damit verhältnisskaliert.
Die Verhältnisskala hat dagegen einen Nullpunkt, der ein echtes Nichts bezeichnet. Niemand ist kleiner als null Zentimeter oder wiegt weniger als null Gramm. Deshalb darfst du hier sagen, dass ein Wert doppelt so hoch ist wie ein anderer.
Die Absolutskala ist ein Sonderfall der Verhältnisskala mit vorgegebener Einheit, meist einer Stückzahl. Temperatur misst du wahlweise in Celsius oder Fahrenheit, die Einwohner deiner Gemeinde nur in Personen. Viele Lehrbücher führen sie deshalb gar nicht eigens an, das Grazer Merkblatt dagegen schon.
Ist mein Merkmal kardinalskaliert? Der Test in vier Fragen
Ob ein Merkmal kardinal ist, klärst du schneller mit einer Frageliste als mit einer Definition. Das Merkblatt zum Bestimmen des Skalenniveaus der Universität Graz führt dafür eine Kette, die du von oben nach unten durchgehst (Merkblatt zum Bestimmen des Skalenniveaus der Universität Graz). Die ersten beiden Fragen entscheiden über kardinal oder nicht, die letzten beiden ordnen die Art zu.
- Lassen sich die Ausprägungen in eine Reihenfolge bringen? Wenn nein, ist das Merkmal nominal und der Test endet hier.
- Ist der Abstand zwischen zwei Ausprägungen überall gleich groß? Wenn nein, ist es ordinal. Wenn ja, ist es kardinal.
- Gibt es einen natürlichen Nullpunkt? Wenn nein, liegt eine Intervallskala vor. Wenn ja, geht es weiter zur letzten Frage.
- Gibt es eine natürliche Einheit? Wenn nein, ist es eine Verhältnisskala, wenn ja, eine Absolutskala.
Die zweite Frage trägt die eigentliche Entscheidung, und sie ist die einzige, bei der du dich selbst prüfen musst. „Gleich groß“ heißt nachweisbar gleich groß und nicht „wirkt ungefähr gleich“. Bei Zentimetern, Euro und Sekunden ist das unstrittig. Bei den Noten von 1 bis 5 nicht: Das Statistik-Handout der WU Wien führt Prüfungsnoten ausdrücklich als ordinales Merkmal, weil sich die Differenzen zwischen den Stufen nicht beziffern lassen (WU Wien, Beschreibende Statistik). Dasselbe gilt für Antwortstufen wie „eher zufrieden“ und „sehr zufrieden“.
Zahlen im Datensatz sind kein Beweis
Der häufigste Irrtum ist, ein Merkmal für kardinal zu halten, weil in der Spalte Zahlen stehen. Eine Postleitzahl ist eine Zahl und trotzdem nominal: 8010 Graz ist nicht „mehr“ als 1010 Wien, und der Abstand dazwischen bedeutet nichts. Dasselbe gilt für Trikotnummern und für codierte Antworten, bei denen 1 für weiblich und 2 für männlich steht.
Prüfe deshalb nicht das Format, sondern die Bedeutung. Die Frage lautet nicht „steht da eine Zahl“, sondern „sagt die Differenz dieser beiden Zahlen etwas aus“.
Der Nullpunkt entscheidet erst im zweiten Schritt
Ein Merkmal ist bereits kardinal, sobald die Abstände stimmen. Ob die Null gesetzt oder natürlich ist, entscheidet danach nur noch darüber, welche Art von Kardinalskala vorliegt und ob Verhältnisse erlaubt sind. Wer beide Fragen zusammenzieht, hält intervallskalierte Merkmale wie das Geburtsjahr fälschlich für nicht metrisch und verschenkt Auswertungsmöglichkeiten.
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Was du mit kardinalskalierten Daten rechnen darfst
Auf einer Kardinalskala sind alle Rechenwege erlaubt, die mit Abständen arbeiten. Was darüber hinausgeht, hängt am Nullpunkt und gilt deshalb nicht für jede Art gleichermaßen. Die Übersicht trennt beides.
| Rechenweg | Kardinalskala | Bedingung |
|---|---|---|
| Modus und Median | ja | schon ab Nominal- bzw. Ordinalskala |
| Differenz zweier Werte | ja | gleiche Abstände genügen |
| Mittelwert und Standardabweichung | ja | gleiche Abstände genügen |
| Korrelation nach Pearson | ja | rechnet mit Abweichungen vom Mittelwert |
| Verhältnis, also „doppelt so viel“ | nur teilweise | braucht einen natürlichen Nullpunkt |
| Prozentuelle Veränderung | nur teilweise | ist ein Verhältnis in anderer Schreibweise |
| Variationskoeffizient | nur teilweise | teilt die Streuung durch den Mittelwert |
Dieselbe Staffelung steht im Statistik-Handout der WU Wien: Der Modus ist schon für nominalskalierte Daten zulässig, der Median ab ordinalen Daten, das arithmetische Mittel erst für metrische (WU Wien, Beschreibende Statistik).
Die Zeilen mit „nur teilweise“ gelten auf der Verhältnis- und der Absolutskala, auf der Intervallskala nicht. Ein Einkommen darf doppelt so hoch heißen wie ein anderes, eine Temperatur in Grad Celsius nicht. Prüfe also vor jeder Prozentangabe, ob die Null deines Merkmals ein echtes Nichts bezeichnet.
Verfahren, die Mittelwert und Streuung voraussetzen, brauchen nach gängiger Konvention mindestens Intervallniveau. Dazu zählen der t-Test, die Varianzanalyse und die lineare Regression, allesamt Verfahren der Inferenzstatistik, die von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen. Für ordinale Merkmale bleiben Median, Quartile und Rangkorrelationen.
Kardinalskala im Fragebogen: die Frage entscheidet
Ob du am Ende kardinalskalierte Daten hast, entscheidet sich beim Erstellen des Fragebogens und nicht bei der Auswertung. Dasselbe Merkmal liefert je nach Antwortformat ein anderes Niveau, und nachträglich lässt es sich nur nach unten umwandeln, also von fein zu grob.
Das Alter ist das deutlichste Beispiel. Fragst du „Wie alt bist du?“ mit einem freien Zahlenfeld, bekommst du verhältnisskalierte Daten und kannst daraus Mittelwert, Spanne und Altersgruppen bilden. Fragst du stattdessen nach „18 bis 29“, „30 bis 49“ und „50 und älter“, bekommst du ordinale Daten, und die einzelnen Jahre sind für immer weg. Aus der Zahl kannst du jederzeit Gruppen machen, aus Gruppen nie wieder die Zahl.
Tipp
Erhebe Alter, Dauer, Anzahl und Betrag als freie Zahl und setze eine Plausibilitätsgrenze statt fertiger Kategorien. Bei empirio.ai, einem Online-Umfrage-Tool aus Deutschland, legst du dafür ein Zahlenfeld mit Minimum und Maximum an. Der Preis sind ein paar leere Felder mehr, der Gewinn ist jede Auswertung, die du vorher nicht geplant hast.
Ist eine Ratingskala kardinalskaliert?
Eine Ratingskala im Fragebogen ist streng genommen ordinalskaliert und damit nicht kardinal. Es lässt sich nämlich nicht nachweisen, dass der Schritt von „trifft eher zu“ zu „trifft zu“ genauso groß ist wie der von „trifft zu“ zu „trifft voll und ganz zu“. Dasselbe gilt für das einzelne Item einer Likert-Skala. Anders sieht es aus, wenn du mehrere Items zu einem Summenwert zusammenfasst, wie es die klassische Likert-Skala vorsieht. Über viele Items gemittelt nähert sich der Gesamtwert einem metrischen Niveau an, und genau deshalb wird er in der Praxis meist als solcher ausgewertet. Eine Annahme bleibt es trotzdem.
Diese Nachsicht ist keine Erfindung der Gegenwart. Stevens nannte das Rechnen mit Mittelwerten auf ordinalen Skalen 1946 „illegales Statistiktreiben“, dem sich aber „eine Art pragmatische Duldung“ entgegenhalten lasse, weil es vielfach zu brauchbaren Ergebnissen führe. Im selben Absatz nennt er den Preis: Mittelwert und Standardabweichung sind auf einer Ordinalskala genau in dem Maß fehlerhaft, in dem die aufeinanderfolgenden Abstände ungleich groß sind. Über Fragebögen selbst hat Stevens nie geschrieben, für die Praxis folgt daraus aber eine Richtung: Je sorgfältiger die Stufen gestaltet sind, vollständig beschriftet und optisch gleichmäßig abgesetzt, desto kleiner der Fehler.
Wenn du aus Zustimmungsstufen einen Mittelwert bildest, gehört die Annahme in den Methodenteil deiner Diplomarbeit: „Die Antwortstufen wurden als äquidistant behandelt.“ Ohne diesen Satz behauptet deine Auswertung ein Messniveau, das die Daten nicht hergeben.
Typische Fehler rund um die Kardinalskala
Die meisten Fehler entstehen nicht beim Rechnen, sondern eine Stufe davor: Ein Merkmal wird falsch eingeordnet, und alles Weitere folgt dieser Entscheidung. Auffallen tut das selten, denn ein falsch gerechneter Mittelwert sieht genauso aus wie ein richtiger.
Zwei der drei folgenden Fälle entstehen schon beim Erstellen des Fragebogens, der dritte erst in der Auswertungssoftware. Alle drei vermeidest du mit einer einzigen Angewohnheit: jedem Merkmal sein Skalenniveau zuzuordnen, bevor die erste Zahl darauf angewendet wird.
Anzahlen in Bereichen abfragen
„Wie viele Erhebungen hast du heuer ausgewertet?“ mit den Optionen „keine“, „1 bis 5“ und „mehr als 5“ liefert ordinale Daten, obwohl das Merkmal selbst absolutskaliert ist. Die Frage senkt das Skalenniveau, und zwar unwiderruflich. Ein freies Zahlenfeld kostet die Befragten kaum mehr Zeit und erhält dir den Mittelwert.
Prozente auf intervallskalierte Werte rechnen
Ein Satz wie „die Temperatur ist um 50 Prozent gestiegen“ klingt harmlos und ist es nicht. Eine prozentuelle Veränderung teilt die Differenz durch den Ausgangswert und ist damit ein Verhältnis. Von 10 auf 15 Grad Celsius sind das 50 Prozent, dieselbe Erwärmung in Fahrenheit ergibt 18 Prozent und in Kelvin 1,8 Prozent. Drei Zahlen für dieselbe Erwärmung sind ein sicheres Zeichen dafür, dass die Prozentangabe hier nichts misst. Berichte in solchen Fällen die Differenz in Grad.
Codierte Antworten wie Messwerte behandeln
Statistikprogramme rechnen bereitwillig mit allem, was als Zahl gespeichert ist. Ein Mittelwert von 1,4 für eine Variable, in der 1 für „Miete“ und 2 für „Eigentum“ steht, ist formal gerechnet und inhaltlich sinnlos. Vergib deshalb direkt nach dem Export für jede Variable das Skalenniveau, bevor du die erste Auswertung startest.
Achtung
„Weiß nicht“ und „keine Angabe“ sind keine Skalenstufen, sondern Ausweichkategorien. Sie gehören optisch abgesetzt ans Ende der Antwortliste und in der Auswertung als fehlender Wert codiert. Stehen sie mitten in der Skala und bekommen den mittleren Zahlenwert, ziehen sie deinen Mittelwert zur Mitte und täuschen Ausgewogenheit vor. Nicht zu verwechseln mit einer echten Mittelkategorie wie „teils, teils“: Die ist eine inhaltliche Antwort, steht zu Recht in der Mitte und wird mitgerechnet.
Fazit
Die Kardinalskala ist die Stufe, auf der Statistik bequem wird: Differenz, Mittelwert und Standardabweichung sind erlaubt, und für die meisten Auswertungen reicht das vollkommen. Ob dein Skriptum zwei oder drei Arten dazuzählt, kannst du getrost offenlassen. Wichtiger ist die Frage nach dem natürlichen Nullpunkt, denn an ihr hängt, ob du Verhältnisse und Prozente berichten darfst. Und die wichtigste Entscheidung triffst du ohnehin früher, nämlich bei der Formulierung der Frage.
Wie es weitergeht
- Du willst alle Stufen im Zusammenhang sehen? Skalenniveau bestimmen
- Dein Merkmal hat keinen echten Nullpunkt? Intervallskala
- Du willst Verhältnisse berichten? Verhältnisskala
- Du zählst Stückzahlen? Absolutskala
Willst du deine Antwortformate gleich ausprobieren?
Bei empirio.ai legst du ein Zahlenfeld oder eine abgestufte Skala in wenigen Minuten an und siehst nach ein paar Testantworten, ob deine Auswertung das hergibt, was du berichten willst.