Stichprobe: Alles Wissenswerte, Leitfaden & Beispiel

Annahmen für unser Beispiel:

• Forschungsinteresse: Nehmen wir an, du machst eine Studie über die Fernsehnutzung in Deutschland. Du möchtest herausfinden, welche Sender derzeit bei der deutschen Bevölkerung am beliebtesten sind und wieviel Zeit Menschen heutzutage vor dem Fernseher verbringen.
   
• Forschungsmethode: Eine quantitative Online-Umfrage ist für dich die einfachste und effektivste Methode der Datenerhebung. Im Gegensatz zu einer schriftlichen oder mündlichen Befragung kannst du so in kürzester Zeit sowie äußerst budgetfreundlich eine große Anzahl an Personen erreichen.

 

 

Schritt 1: Voll- oder Teilerhebung aufgrund der Grundgesamtheit bestimmen

 

“Eine Grundgesamtheit ist die Menge von Objekten, über die Aussagen getroffen werden sollen.” (Brosius et al 2009: 71)

 

Bevor du mit der unmittelbaren Stichprobenbildung beginnst, musst du im ersten Schritt festlegen, welche Untersuchungsobjekte du in deiner Forschung überhaupt berücksichtigen möchtest oder kannst.

Zunächst ist dabei die Grundgesamtheit zu beachten: Dabei ist die gesamte Gruppe der zu untersuchten Personen gemeint, die über ein oder mehrere gemeinsame Merkmale verfügen. In der Statistik wird die Grundgesamtheit mit dem Wert “N” gekennzeichnet. In unserem Beispiel wären es alle volljährigen Personen, die in Deutschland leben und über einen Fernsehanschluss verfügen.

Wenn du alle Personen aus der Grundgesamtheit untersuchen kannst, was aus statistischer Sicht der Idealfall wäre, dann würdest du eine Vollerhebung vornehmen. Vollerhebungen werden manchmal in der Meinungsforschung durchgeführt, wenn die Grundgesamtheit relativ klein ist.

Würdest du dich bei deiner Forschung dafür interessieren, welches Fernsehverhalten die Vorsitzenden der Medienanstalten in Deutschland haben, könntest du die theoretisch alle befragen, da deine Grundgesamtheit nur ca. 100 Personen umfasst. Dafür müsstest du allerdings alle diese Personen tatsächlich erreichen und zu einer Umfrage motivieren. Selbst in großen Projekten ist diese Form der Untersuchung zeitintensiv und kompliziert.

Wenn die Grundgesamtheit entweder zu groß ist oder nicht eindeutig definierbar, wird eine verkleinerte strukturgleiche Teilmenge der Grundgesamtheit mithilfe der Stichprobenziehung untersucht und entsprechend eine Teilerhebung vorgenommen. In den meisten Forschungsprojekten ist dies die einzige Möglichkeit zur Datenerhebung. In der Statistik werden diese Teilelemente der Grundgesamtheit mit dem Wert “n” gekennzeichnet.

In unserem Forschungsbeispiel ist die Anzahl aller Fernsehzuschauer in Deutschland einfach zu groß. Alleine aufgrund dessen wäre es unmöglich, eine Vollerhebung in Bezug auf ihr Fernsehverhalten durchzuführen. Eine Teilerhebung ist also die einzige Möglichkeit, dein Forschungsvorhaben umzusetzen.

Literaturtipp:
Brosius, Hans-Bernd et al. (2009). Methoden der empirischen Kommunikationsforschung. Eine Einführung. 5 Auflage. Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften.
➔ siehe vor allem Kapitel 4, S.71-91: “Auswahlverfahren”

 

Schritt 2: Stichprobenart auswählen

 

“Eine Stichprobe stellt eine Teilmenge aller Untersuchungseinheiten dar, die die untersuchungsrelevanten Eigenschaften der Grundgesamtheit möglichst genau abbilden.” (Bortz 1993: 84, zitiert nach Raithel 2008: 54).

 

Die meisten stichprobenbasierten Untersuchungen haben das Ziel, von Aussagen über die gewählte Teilmenge zu Erkenntnissen über die gesamte Grundgesamtheit bzw. Population zu gelangen. Eine solche inhaltliche Übertragung wird in der Forschung Repräsentationsschluss genannt und ist nur dann gültig, wenn die Elemente aus der Grundgesamtheit in der Teilmenge in der gleichen Zusammensetzung vertreten sind. Dabei muss die gezogene Stichprobe die Grundgesamtheit möglichst genau abbilden.

Grundsätzlich wird zwischen drei Gruppen von Stichprobenverfahren unterschieden:

• Willkürliche Auswahl: Diese unkontrolliert gebildete Stichprobe wird manchmal bei psychologischen Experimenten mit freiwilligen Probanden gemacht und erlaubt keinerlei Aussagen über die Grundgesamtheit. Häufig wird dieses Verfahren entweder mit einem weiteren kombiniert, um zu aussagekräftigen Ergebnissen zu kommen – oder sie strebt ohnehin aufgrund der Forschungsfrage keine Repräsentativität an.
   
• Bewusste Auswahl: Diese Auswahl nach spezifischen Kriterien ist dann sinnvoll, wenn extreme Fälle untersucht werden sollen bzw. wenn die zu untersuchenden Merkmale in der Grundgesamtheit stark unterschiedlich vorhanden sind. Auch hier ist mit gewisser Verzerrung der Repräsentativität zu rechnen.
   
• Zufallsauswahl oder Wahrscheinlichkeitsauswahl: Bei dieser Auswahl entscheidet ein statistischer Zufallsprozess darüber, welche Merkmalsträger aus der Grundgesamtheit in die Stichprobe aufgenommen werden. Die Zufallsauswahl ist das einzige Stichprobenverfahren, das die Repräsentation gewährleisten kann bzw. in ihrem Ansatz dafür sorgt, dass alle Personen der Grundgesamtheit die gleiche Chance haben, bei der Forschung berücksichtigt zu werden.

Dabei sind folgende Varianten der Zufallsstichproben weit verbreitet:

• Einfache Zufallsstichprobe: Elemente oder Personen der Grundgesamtheit werden ähnlich wie in einer Lotterie zufällig gezogen. Dabei hat jedes Element der Grundgesamtheit die gleiche Chance, mithilfe von verschiedenen systematischen Zufallsverfahren (z.B. durch einen Zufallsgenerator) gezogen zu werden.
  Eine solche Stichprobe ist sehr genau und ist hinsichtlich aller Merkmale der Population repräsentativ. Allerdings müssen die Forschenden dafür sorgen, dass wirklich jedes Element aus der Grundgesamtheit für die Ziehung zugänglich ist – das ist in der Praxis nicht immer einfach.
   
• Geschichtete Zufallsstichprobe: Elemente bzw. Personen der Grundgesamtheit werden zunächst nach einem bestimmten Merkmal aufgeteilt (z.B. nach dem Alter der Fernsehzuschauer). Die Zufallsstichprobe wird zuerst aus der jeweiligen Gruppe (= aus der ”Schicht”) gezogen. Im nächsten Schritt werden Stichproben aus diesen verschiedenen Schichten zu einer Teilmenge zusammengefügt.
  
  Um die bestmögliche Stichprobenverteilung zu gewährleisten, wird dabei berücksichtigt, wie groß die jeweilige Gruppe in der Grundgesamtheit vorhanden ist (z.B., wenn es doppelt so viele über 50-Jährige als unter 20-Jährigen Fernsehzuschauer gibt, werden entsprechend doppelt so viele 50-Jährigen im Vergleich zu unter 20-Jährigen in die gesamte Teilmenge aufgenommen).
  
  In der Forschungspraxis ist dieses Verfahren sehr beliebt, da sichergestellt werden kann, dass gewisse Teile der Population in Bezug auf das geschichtete Merkmal nicht unter- oder überrepräsentiert sind.
   
• Klumpenstichprobe: Aus Elementen bzw. Personen der Grundgesamtheit werden zunächst größere Einheiten (=”Klumpen”) gebildet (z.B. ein Haushalt, der sich aus mehreren Fernsehzuschauern zusammensetzt, könnte als ein Klumpen definiert werden), dann wird aus den vorhandenen Klumpen zufällig eine Einheit ausgewählt und vollständig untersucht.
  
  Die Repräsentativität dieser Stichprobenziehung hängt jedoch immer davon ab, wie gut die Forschenden die Kriterien zur Bildung der Einheiten bzw. der Klumpen festgelegt haben. 
   

In unserem Forschungsbeispiel wirst du mithilfe der einfachen Zufallsstichprobe vermutlich am einfachsten und effektivsten zu den angestrebten Daten bezüglich der Fernsehnutzung der Deutschen kommen.

 

Literaturtipp:
Beller, Sieghard. (2016). Empirisch forschen lernen. Konzepte, Methoden, Fallbeispiele, Tipps. 2 Auflage. Bern: Huber Verlag.
➔ siehe vor allem Kapitel 4, S.85 - 98: “Repräsentativität und Genauigkeit von Stichproben”

 

• Das stellt zwar die Verallgemeinerung bzw. die Repräsentativität deiner Erkenntnisse in Frage, allerdings sind studentische Befunde ohnehin selten repräsentativ – auch deinen Prüfern ist es bewusst!
   
• Möchtest du jedoch eine möglichst repräsentative Studie aufstellen, musst du dies bereits bei deinem Forschungsinteresse berücksichtigen und eine kleinere Grundgesamtheit in Betracht ziehen. Statt das Fernsehverhalten der gesamten deutschen Bevölkerung untersuchen zu wollen, könntest du dich stattdessen mit den Fernsehgewohnheiten von Studierenden der Medienwissenschaft an der Universität Hamburg befassen. Eine kleinere Stichprobe kann mit weniger Aufwand präzisere Ergebnisse liefern.

   

 

Schritt 3: Stichprobengröße und ihre Genauigkeit berechnen

 

“Die empirische Sozialforschung nimmt in der Regel eine fünfprozentige Irrtumswahrscheinlichkeit in Kauf. Ergebnisse, die sie produziert, sind mit diesem Zufallsfehler behaftet.” (Brosius et al 2009: 77)

 

Zur Bestimmung deiner Stichprobe bleibt im letzten Schritt noch auszurechnen, welche Stichprobengröße grundsätzlich notwendig ist, damit deine Forschung als repräsentativ gilt. Mithilfe der Inferenzstatistik werden dabei spezifische Werte ausgerechnet, um die in deiner Forschung erhaltenen Daten auf zufällige Abweichungen zu überprüfen. Daraus kannst du dann die benötigte Stichprobengröße ableiten.

In diesem Zusammenhang musst du zunächst diese Begriffe und Werte für deine Forschung definieren:

• Deine Grundgesamtheit bzw. die Populationsgröße (N)
  Grundlegende Frage: Über welche Bevölkerungsgruppe möchtest du überhaupt Aussagen treffen? Die gesamte Gruppe der zu untersuchten Personen.
  
  Beispiel: Bei unserer Fernsehforschung suchen wir also nach allen Menschen in Deutschland, die zu Hause fernzusehen können. Laut der aktuellen Studie der Arbeitsgemeinschaft Fernsehforschung besitzen im Schnitt rund ca. 64 Millionen der Deutschen einen Fernseher. Diese können wir zu unserer Grundgesamtheit zählen.
   
• Irrtumswahrscheinlichkeit (oder Fehlerspanne) (e)
  Grundlegende Fragen: Wie nah liegen deine Umfrage-Ergebnisse an den tatsächlichen Ergebnissen in der gesamten Population (wenn man diese erheben könnte)? Was ist die mögliche Fehlerquote, die du in Kauf nehmen musst bzw. mit der du rechnen kannst?
  
  Ein Prozentsatz, der angibt, wie präzise das Hochrechnen der Stichproben auf deine Grundgesamtheit ausfallen wird. In der Forschung wird angenommen, dass selbst die sorgfältigste Stichprobe nicht garantieren kann, das gesuchte Merkmal der Grundgesamtheit tatsächlich zu finden. Mit einer gewissen Fehlerquote müssen die Forschenden einfach rechnen.
  
  Üblicherweise liegt die erwartete Irrtumswahrscheinlichkeit in den meisten Forschungsprojekten bei 5 Prozent (= 0,05 als Wert), wobei jede Fehlerspanne zwischen 1 und 10 Prozent möglich ist. Darüber hinaus gilt die Studie als unzuverlässig. Du kannst selbst entscheiden, wie genau deine Ergebnisse ausfallen sollen bzw. wie viele Fehler du in deiner Forschung zulassen möchtest.
  
  Beispiel: Hast du in deiner Forschung eine Fehlerspanne von 5 Prozent festgelegt, so haben deine Ergebnisse immer eine Genauigkeit von +/- 5 Prozent. Geben 30 Prozent der Teilnehmenden (= die gewählte Stichprobe) bei deiner Befragung an, täglich zwei Stunden lang fernzusehen, dann wäre deine Erkenntnis aufgrund der aufgestellten Irrtumswahrscheinlichkeit vielmehr, dass höchstwahrscheinlich zwischen 25 (30 Prozent - 5) und 35 Prozent (30 Prozent +5) der deutschen Fernsehzuschauer (= deine Grundgesamtheit) tatsächlich dieser Tätigkeit in diesem Umfang nachgehen.
   
• Konfidenzniveau (oder Konfidenzintervall)
  Grundlegende Frage: Wie sicher möchtest du bei deiner Studie sein (in Prozentzahlen), dass deine Ergebnisse tatsächlich die festgelegte Grundgesamtheit abbilden?
  
  Das Konfidenzniveau misst die Wahrscheinlichkeit bzw. den Grad der Genauigkeit, mit der die Stichprobe deine Grundgesamtheit unter Berücksichtigung der zuvor gewählten Fehlerspanne abbildet. Ein Konfidenzniveau von 95 Prozent ist am geläufigsten, wobei auch Werte zwischen 80 und 99 Prozent in der Praxis verwendet werden. Während die Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, welche Fehlerspanne bei den Antworten möglich ist, drückt das Konfidenzniveau in Prozenten aus, wie sicher du dir bist, dass deine Ergebnisse die gewählte Gesamtpopulation repräsentieren.
  
  Beispiel: Entscheidest du dich für das Konfidenzniveau von 95 Prozent (mit der vorher festgelegten Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 Prozent), so könntest du in unserer Fernsehforschung mit einer Zuversichtlichkeit von 95 Prozent sagen, dass zwischen 25 und 35 Prozent der Deutschen tatsächlich zwei Stunden lang täglich fernsehen.
   
• Z-Wert
  Grundlegende Fragen: Wie ist die Differenz zwischen deinen Ergebnissen und dem normalen Mittelwert (also den üblichen Durchschnittsergebnissen) bei der Population?
  
  Ausgehend aus dem Konfidenzniveau wird der sogenannte Z-Wert automatisch festgelegt. Dieser zeigt den in der Wissenschaft üblichen Mittelwert an, mit dem Standardabweichungen in der Population gemessen werden. Der standardisierte Z-Wert kann zwar auch berechnet werden, für die typischen Konfidenzen kann dieser jedoch in Z-Wert-Tabellen (online oder in allen gängigen Statistik-Büchern) nachgeschlagen werden.
  
  Beispiel: Bleiben wir beim Konfidenzniveau von 95 Prozent, so liegt der zum Berechnen der Stichprobe benötigte Z-Wert bei 1,96. Typischerweise kannst du in deiner studentischen Arbeit zur Ermittlung der Stichprobengröße einfach mit dem Wert aus der Tabelle arbeiten, der deiner zuvor gewählten Konfidenz entspricht. Weitere Erläuterungen sind in der Regel nicht notwendig.

 

Unsere kleine Übersicht zeigt die Z-Werte für die gängigsten Konfidenzintervalle:

Konfidenzniveau bzw. -intervall	Z-Wert
99%	2,58
95%	1,96
90%	1,65
85%	1,44
80%	1,28

• Standardabweichung (p)
  Grundlegende Fragen: Denkst du, dass die Befragten bei deiner Umfrage alle eher gleiche Antworten geben werden – oder umgekehrt extrem unterschiedliche? Wieviel Antwort-Vielfalt erwartest du?
  
  Dieser Wert zeigt die durchschnittliche Entfernung aller gemessenen Ausprägungen eines Merkmals von seinem Durchschnitt bzw. wie viel Varianz bei deiner Befragung zustande kommen wird. Anders gesagt: Die Standardabweichung gibt an, wieviel Variation du unter deinen Antworten erwartest. Die Standardabweichung ist im Vorfeld, also bevor du deine Umfrage machst, so gut wie unmöglich zu bestimmen und wird von den meisten Forschenden auf höchstmögliche 50 Prozent (bzw. auf den Wert von 0,5) gesetzt. Studierende können in der Regel ebenfalls mit diesem Wert arbeiten, ohne dass sie die Standardabweichung anderweitig begründen müssen.

 Aus diesen Werten (N=64.000.000, z=1,96,e=0,05 und p=0,5) kannst du nun mithilfe einer statistischen Formel die Mindestgröße einer Stichprobe berechnen: Damit unsere Fernsehforschung repräsentativ ausfällt, müssten mindestens 385 Personen aus der Grundgesamtheit an unserer Online-Umfrage teilnehmen.
 

 Formel zur Berechnung der Stichprobengröße:

$$Stichprobengroesse=\frac{\frac{z^2\times p(1-p)}{e^2}}{1+(\frac{(z^2\times p(1-p)}{e^{2}N})}$$

 

In unserem Beispiel kommen wir so zu dieser Stichprobengröße:

Ergebnis aus der Berechnung:

$$385=\frac{\frac{{1,96}^2\times 0,5(1-0,5)}{{0,05}^2}}{1+(\frac{({1,96}^2\times 0,5(1-0,5)}{{0,05}^2\mathrm{64.000.000}})}$$

 

Literaturtipp und (von uns vereinfachte und minimal angepasste) Formel angelehnt an ausführliche Berechnungen aus:
Holland, Heinrich/Kurt Scharnbacher (2004). Grundlagen statistischer Wahrscheinlichkeiten. Kombinationen, Wahrscheinlichkeiten, Binomial- und Normalverteilung, Konfidenzintervalle, Hypothesentests. Wiesbaden: Gabler Verlag.
➔ vor allem Kapitel 4., S. 43 - 65: “Intervallschätzung” und Kapitel 5., S. 67 - 75: “Notwendiger Stichprobenumfang” erklären noch einmal ganz ausführlich, wie alle oben genannten Werte mathematisch berechnet werden können.

In unserem Beitrag arbeiten wir einfachheitshalber mit bereits berechneten “Z”- (bei Holland/Scharnbacher auch als “t” gekennzeichnet, in anderer Literatur ist “Z” aber gängiger),”e”- und “p”-Werten. Falls die Anforderung in deinem Fach die selbstständige Berechnung umfasst, eignet sich dieses Band sehr gut als Nachschlagewerk.

Abhängig von den festgelegten Parametern, die wir oben beschrieben haben, kann deine Stichprobengröße selbst bei der gleichen Grundgesamtheit (64.000.000) variieren:

 

Stichprobengröße - abhängig von Irrtumswahrscheinlichkeit und Konfidenzintervall:

	Irrtumsw. 1%	Irrtumsw. 5%	Irrtumsw. 10%
Konfidenzintervall 90%	6.808	273	69
Konfidenzintervall 95%	9.603	385	97
Konfidenzintervall 99%	16.637	666	167

 

Grundsätzlich gilt: Je höher das Konfidenzintervall und je geringer die Irrtumswahrscheinlichkeit, desto höher wird die Repräsentativität deiner Forschung ausfallen. Eine höchstmögliche Repräsentativität bedeutet aber auch, dass deine Stichprobe entsprechend groß ausfallen muss.

Für unser Forschungsbeispiel bedeutet es zusammenfassend, dass mit einer Stichprobe von 385 Befragten (bei einer Population bzw. der Grundgesamtheit von 64.000.000 Personen) die erzielten Ergebnisse aus unserer Umfrage mit 95-prozentiger Sicherheit auf die untersuchte Population übertragbar sind. Darüber hinaus können wir angeben, dass selbst wenn man alle Personen aus der Grundgesamtheit befragen könnte, würden ihre Antworten maximal um +/-5 Prozent von denen aus unserer Umfrage abweichen.

Hinweis: Unsere Darstellung der Stichprobenberechnung ist als eine vereinfachte Einführung in dieses Thema zu verstehen. Ausführliche statistische Darstellungen, um verschiedene Wahrscheinlichkeiten und Kennwerte zu berechnen, können wir in einem kurzen Beitrag unmöglich berücksichtigen. In den gängigen Statistik-Lehrbüchern werden die von uns angerissene Begriffe mit Sicherheit umfassender dargestellt.

 

Unser Literaturtipp: Quatember, Andreas (2019). Datenqualität in Stichprobenerhebungen. Eine verständnisorientierte Einführung in die Survey-Statistik. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum.
➔ Dieses Band ist unsere Empfehlung für alle, die sich mit der Stichprobenberechnung beschäftigen und nach einem gut verständlichen praxisorientierten Lehrbuch suchen.